前言
线性代数是一门以行列式和矩阵为工具、以初等变换为主要变换方法、以线性方程组为落脚点的课程。但初学者不仅对线性代数中的概念不知道其产生背景，而且容易混淆一些概念，尤其是对于所给出的一些结论到底有何用处感到迷惑，该书的编写目的在于帮助广大读者解开线性代数学习中的困惑。
该书不是简单地总结归纳每章的重点及一些解题方法，而是有其独特之处：（1） 给出了各章知识的产生背景与应用，使我们不再觉得所学知识是凭空产生的;（2） 该书的编写教师根据自己多年线性代数教学实践，总结出在线性代数学习中容易出错的地方，并分析其出错原因;（3） 在一些关键之处给出了“特别提醒”，使读者可以抓住问题的本质;（4） 对于一些重要定理和性质，给出了应用指导，帮助读者了解这些定理可用在何处;（5） 给出了部分考研题及解答。
因此，该书可以帮助读者解答学习中的疑惑，理清条理，把握核心，突破难点，提高自主学习的兴趣和效率，使线性代数的学习变得轻松而有趣，从而达到事半功倍之效。本书不仅可以为广大学生学习线性代数提供指导,而且对于高等代数的学习也有帮助，也可作为广大教师的教学参考用书，还能帮助准备考研的同学再上一个台阶。

编者
2015.4

目录
第一章行列式1
一、 知识背景及应用1
§11知识背景1
§12应用1
§121行列式在求解线性方程组中的应用1
§12.2行列式在求逆矩阵中的应用（见第二章）2
§123行列式在多项式理论中的应用2
§124行列式在高等数学中的应用2
§125行列式在几何中的应用3
二、 知识框架5
§21排列的逆序数5
§22排列的性质5
§23行列式5
§231几种特殊的行列式6
§232代数余子式7
§233行列式的性质7
§234重要结论9
三、 解题方法总结12
§31行列式的计算12
§32已知一个行列式的值，计算另一个行列式18
§33讨论齐次线性方程组有非零解的问题18
§34解特殊线性方程组19
四、 容易混淆的问题及常见错误21
§41对行列式的项的构成和符号确定方面21
§42计算行列式中某字母的系数21
五、 考研题选编23
第二章矩阵27
一、 知识背景及应用27
§11知识背景27
§12知识应用27
§121在几何中的应用27
§122在线性方程组中的应用28
§123在日常生活中的应用29
二、 知识框架31
§21矩阵及相等31
§22运算32
§23方阵的行列式33
§231转置矩阵34
§232对称矩阵和反对称矩阵34
§233伴随矩阵34
§24逆矩阵35
§25分块矩阵36
§26矩阵的特殊分块及计算36
§261分块上（下）三角矩阵36
§262分块对角矩阵37
§27初等变换与初等矩阵38
§271初等变换38
§272初等矩阵39
§273可逆矩阵与初等变换39
§274矩阵的等价39
三、 解题方法总结42
§31逆矩阵求法42
§32判断矩阵等价43
§33矩阵可交换的判别方法44
§34证明矩阵可逆44
§35求解矩阵方程45
四、 容易混淆的问题及常见错误47
§41关于矩阵乘法的次序47
§42忽略矩阵的乘法不满足消去律47
§43计算数乘矩阵的行列式|kA|时出错47
§44使用矩阵的乘法对加法的分配律时出错48
§45忽略行列式必须行数等于列数48
§46求伴随矩阵产生的错误48
§47解矩阵方程时忽略乘积次序48
五、 考研题选编51
第三章向量组与矩阵的秩54
一、 知识背景及应用54
§11知识背景54
§12应用55
§121在几何方面55
§122在代数方面56
二、 知识框架58
§21向量的线性相关性58
§22向量的极大无关组与秩58
§23线性表示59
§24矩阵的行阶梯形59
§25秩60
三、 解题方法总结63
§31判断一组向量的线性相关性63
§32证明一组向量线性无关64
§33判断一个向量能否用其他向量表示64
§34求向量组的极大无关组65
§35求矩阵的秩66
§36求给定向量在一组基下的坐标66
§37证明两个向量组等价67
§38已知A，A*，A-1中两个，求另一个67
四、 容易混淆的问题及常见错误69
§41对矩阵的阶梯形认识错误69
§411在线性相关性概念及性质方面69
§412对矩阵秩的概念理解错误70
五、 考研题选编72
第四章线性方程组75
一、 知识背景及应用75
§11知识背景75
§12知识应用75
§121在向量线性关系中的应用75
§122在求特征向量中的应用76
§123在求矩阵的逆矩阵中的应用76
二、 知识框架78
§21线性方程组及解78
§22齐次线性方程组80
§23齐次线性方程组解的性质80
§24重要定理81
三、 解题方法总结85
§31求解线性方程组85
§3.2讨论待定系数取何值时齐次方程组有非零解87
§3.3讨论待定系数取何值时非齐次方程组的解88
§3.4证明α1,α2,…,αs为Am×nX=0的一个基础解系88
四、 容易混淆的问题及常见错误91
§41对于非齐次线性方程组的结构91
§411解线性方程组时使用的初等变换91
§412在方程组有解的判断方面92
§413解方程组时选错自由未知量92
五、 考研习题选编95
第五章特征值与二次型100
一、 知识背景及应用100
§11知识背景100
§12在几何方面的应用101
二、 知识框架103
§21向量的内积103
§22向量的正交性103
§23正交矩阵104
§24方阵的特征值和特征向量105
§25相似矩阵106
§251矩阵的对角化107
§252实对称矩阵108
§26化二次型为标准型108
§261二次型及其矩阵表示108
§262规范型109
§27正定二次型110
三、 解题方法总结113
§31特征值与特征向量的求法113
§32判定矩阵A与B相似的方法113
§33将矩阵对角化的方法113
§34由特征值和特征向量反求矩阵A：A=PΛP-1115
§35方阵的幂Ak的计算115
§36实对称矩阵正交相似对角化的方法115
§37化二次型为标准型的方法116
四、 容易混淆的问题及常见错误121
§41混淆正交矩阵与正定矩阵的性质121
§42判断矩阵对角化方面121
§43化二次型为标准型方面121
§44正定二次型的判断方面122
§45判断矩阵的合同方面122
§46混淆相似与合同的性质123
五、 考研题选编125