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内容提要 本书介绍实分析的基本理论.全书共分八章，内容包括：集合与映射，拓扑空间，测度空间，积分，Riesz表示定理与Borel测度的正则性，Lp空间，赋范线性空间初步理论和Hilbert空间初步理论.本书在选材上注重少而精，集中反映实分析的核心内容.在内容的叙述上，注意由浅入深，循序渐进.本书语言通俗易懂，推理严谨清晰，便于教学和自学.书中各章配有例题和习题，可供读者借鉴和练习.本书可作为大学数学专业硕士生一年级的教材，也可作为数学专业本科生高年级选修课教材.同时，也可供需要分析数学较多的理工科研究生和大学教师、科研工作者参考. 前言 由于分析的思想在数学和其他科学分支的广泛应用，实分析普遍被选为数学专业硕士研究生一年级的必修课.所谓“实分析”是指近现代数学中那些根植于经典数学分析和实变函数的部分.目前，实分析已发展为包含多个专题的现代分析理论.由于应用和偏好的不同，关于实分析的教材也呈现多种版本，不同形式.但是基本的内容应包括：经典的实变函数本身，一般测度空间及其上的可测函数，抽象积分，拓扑空间，拓扑与测度相结合所产生的理论，Lp空间，Hilbert空间和赋范线性空间等.由于实变函数已作为前期知识在本科阶段学习过，故通常研究生的实分析教材不包括这一基础部分.但是，在学习实分析的抽象理论时，我们会经常联系实变函数中相应的结果；由此说明实变函数理论是实分析理论的一个具体的经典的例子，而实分析理论是实变函数理论的抽象化和一般化.那么，这种抽象化和一般化又有何意义呢？我们可通过它对其他学科的作用加以说明.比如，概率空间，它显然不是实变函数中Rk上的Lebesgue测度空间，但它是我们实分析讨论的测度空间的一种，即全空间测度为1的测度空间.其实，在高等概率论中，随机事件就是概率空间中的可测集，其发生的概率就是测度，随机变量就是一个可测函数，而其数学期望就是它的积分.又如，局部紧群上的Haar测度，拓扑测度论和拓扑动力系统等涉及的许多测度空间也常常不是Rk上的Lebesgue测度.所有这些内容都是实变函数理论无法囊括的，而必须纳入实分析的理论框架来研究.因而，从实变函数到实分析，并不是一个单纯形式的推广，而是具有丰富内涵的开拓.在有了拓扑空间之后，自然就产生了连续函数空间、有界连续函数空间、具有紧支的连续函数空间及在无穷远处为0的连续函数空间等；在有了测度空间之后，自然就产生了可测函数空间、有界可测函数空间、可积函数空间及p次可积函数空间等.这些空间通常都是无限维线性空间.这样，引入线性泛函分析的知识，如赋范线性空间、Hilbert空间的基本理论，自然成为可能与必要.因而，通常实分析的教材也将这部分内容包括在内. W.Rudin所著《实分析与复分析》一书是国内外大学广泛使用的数学专业研究生的基础教材(以下，也称该书为原著).这是一本不可多得的好书.学习并掌握该书的内容，对于分析数学的理解将会登上一个新的台阶.多年来，我们一直采用该书的第1章到第5章作为教学的基本内容.但是初学者直接阅读该书，确实具有一定的困难.编者于1990年到2010年期间，曾担任苏州大学数学科学学院硕士研究生实分析课程的教学工作，深感需要根据实际情况，参照原著，编写一本内容深入浅出、通俗易懂而又理论严谨，且反映现代分析数学思想和成果的教材，以适应数学专业研究生教学的需要.本书就是一个尝试.它根据编者20年来积累的讲稿和心得整理、修订、充实而成.全书共分为八章，分别是：集合与映射，拓扑空间，测度空间，积分，Riesz表示定理与Borel测度的正则性，Lp空间，赋范线性空间初步理论，Hilbert空间初步理论.比照原著，在内容的选取和处理方面，本书作了如下一些尝试. 一、
关于拓扑学知识的介绍.在原著中，拓扑学知识是分散在第1章和第2章各处出现的.这样的安排有其特色，使学生对于拓扑学的认识和学习有一个逐步深入的过程.但缺点是理论不系统、不集中；在阶段性给出的结论不全面、不深入.例如，在第1章讲述连续映射时，由于未介绍闭集和网，故未能给出连续映射的闭集刻画和网的刻画.本书专列一章“拓扑空间”比较系统、全面地介绍拓扑学的重要基础知识.这样一方面，为以后各章节使用拓扑知识提供了丰富的“仓廪”；另一方面，拓扑学知识本身对于提高学生的抽象分析能力和数学修养也具有重要意义. 二、
关于Urysohn引理的处理.在实分析中，通常Urysohn引理的叙述是专为证明Riesz表示定理而设的，而Riesz表示定理涉及的是局部紧Hausdorff拓扑空间，故在那里，Urysohn引理是对局部紧Hausdorff拓扑空间而言的.但是，在一般拓扑学中，通常Urysohn引理是对正规空间而言的.原著文中叙述的Urysohn引理取第一种形式，而第2章习题中要求学生验证度量空间满足Urysohn引理时，又指第二种形式.历届学生每遇到此问题时，总感到困惑.本书给出Urysohn引理的一种推广形式，它蕴涵上述两种不同形式的Urysohn引理；进而说明：虽然这些引理的形式不同，但实质是相似的，故而都名之曰“Urysohn引理”. 三、
由Riesz表示定理导出Rk上Lebesgue测度的讲法.原著中，这部分内容由于追求自封闭性，避免直接使用数学分析中的Riemann积分，而是另起炉灶，在Rk中引入“胞腔”、“单元”、映射序列“Λn”,并进而证明“Λn”具有极限映射“Λ”,此即定义于Cc(Rk)上的正线性泛函(注：Cc(Rk)指定义于Rk上具有紧支的连续函数空间).由于我们的学生对于这些术语并不熟悉，因而感到神秘而难懂，分散了学生的注意力，影响对于主线的理解.根据我们的学生对于Riemann积分的理解并无太大困难这样的状况，对于Rk上具有紧支的连续函数f，直接用Riemann积分来定义Λf:=∫Rkf(x)dx.这就获得了Cc(Rk)上的正线性泛函：fΛf,f∈Cc(Rk).利用Riesz表示定理，由Λ可导出Rk上一个满足诸多“好”的条件的完备的Borel测度(注：实分析书中的Borel测度不一定指Borel集族上的测度，而是指包含Borel集族的σ代数上的测度)，并证明这个完备的Borel测度即实变函数中Rk上的Lebesgue测度，同时也导出了Lebesgue积分.这样处理简明扼要，突出主线，较易为学生接受.其实，在编者执教实分析课程的早期，由于当时课时比较充裕，上述构造Riemann积分过程是详细讲述的；这对于理解Riemann积分的实质很有帮助.但其严格而完整的证明需要较长篇幅，建议作为课外讲座或思考题. 四、
关于“赋范线性空间初步理论”的讲述.本书注意渗透拓扑线性空间的思想方法，使证明抓住关键，揭示本质，同时也便于以后将结论推广到更广一类的拓扑线性空间上去. 由于篇幅所限，还有一些重要内容未能收入本书中，如复测度(包括RadonNikodym定理及Lp(μ)上有界线性泛函的表示定理)、乘积空间上的积分(包括乘积测度及Fubini定理)等.故本书只能称为实分析的基础或引论.应当指出，本书许多内容取自Rudin的原著，当然，经过重新编排和改写.此外，编者还参考了国内外大量实分析、实变函数和泛函分析的教材、习题集和专著.本书的末尾只能列出其中一部分参考文献. 阅读本书仅需数学分析知识和实变函数的基础知识(例如见：张建平，丘京辉编，实变函数(第二版)，东南大学出版社，2014年).全书各重要内容的编排按三个系列进行.以命题、引理、定理、推论为一个系列，编为：名称(章).(节).(序号).例如，第7章第2节的相关结论可编为：定理7.2.1、推论7.2.2、定理7.2.3、命题7.2.4等.以定义为一个系列，编为：定义(章).(节).(序号).例如，定义7.1.1指第7章第1节中第一个定义.以例为一个系列，编为：例(章).(节).(序号).例如，例7.3.1指第7章第3节中第一个例.此外，每章后都附有习题，供读者练习. 编者衷心感谢苏州大学数学科学学院有关领导和同事及苏州大学研究生院有关领导和同志；由于他们的推荐和支持，使编者获得“苏州大学研究生精品课程建设项目——实分析”的资助.本书也是该建设项目产生的成果之一.编者还要诚挚感谢20年来历届研究生的支持和配合.我们师生同学，教学相长，留下了美好难忘的记忆.东南大学出版社的张烨、史静编辑为本书出版付出了辛勤的劳动，编者一并在此表示诚挚的感谢！ 由于编者水平所限，错误和不妥之处在所难免，希望广大师生、读者和同行不吝指教. 编者于2016年3月 目录 1集合与映射1 1.1集合及其运算1 1.2映射4 1.3关系,偏序与等价5 1.4对等与基数6 1.5可数集9 1.6连续基数(或称连续统势)122拓扑空间17 2.1拓扑空间的概念17 2.2邻域及相关概念20 2.3网22 2.4连续映射24 2.5紧空间与局部紧空间30 2.6推广的Urysohn引理36 2.7紧空间的积,Tychonoff定理413测度空间45 3.1可测空间与可测映射45 3.2广义实数的运算,上极限与下极限53 3.3测度空间56 3.4按测度收敛与几乎处处收敛634积分68 4.1正函数的积分68 4.2复函数的积分80 4.3零测集所起的作用875Riesz表示定理与Borel测度的正则性97 5.1线性空间,线性映射与线性泛函97 5.2Riesz表示定理99 5.3Borel测度的正则性108 5.4由Riesz表示定理导出Rn上Lebesgue测度111 5.5可测函数的连续性1156Lp空间121 6.1凸函数与不等式121 6.2Lp空间126 6.3连续函数逼近1357赋范线性空间初步理论141 7.1赋范线性空间的基本概念141 7.2Baire纲定理,共鸣定理,开映射与闭图定理145 7.3HahnBanach延拓定理1538Hilbert空间初步理论164 8.1内积空间与Hilbert空间的基本概念164 8.2最小范数定理与正交分解定理167 8.3规范正交集172 8.4L2［0,2π］的规范正交基181 参考文献188 符号集190 索引192 |
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